数学公式整理(持续更细)

  发布日期:   2018-08-30
  最新修改:   2020-03-25
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  • 出来工作了,发现慢慢很多数学公式太久不用,概念都忘了,最近在学习图像处理相关的知识遇到了,还是得再补补,出来混的,迟早是要还的。

标准差

先来个百科的介绍吧:

  • 标准差也被称为标准偏差,标准差(Standard Deviation)描述各数据偏离平均数的距离(离均差)的平均数,它是离差平方和平均后的方根,用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度,标准偏差越小,这些值偏离平均值就越少,反之亦然。标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。平均数相同的两个数据集,标准差未必相同。

例子:

  • 例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70,但A组的标准差应该是18.708分,B组的标准差应该是2.366分,说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。

总体标准偏差与样本标准偏差区别

  • 总体标准偏差:针对总体数据的偏差,所以要平均,
  • 样本标准偏差,也称实验标准偏差:针对从总体抽样,利用样本来计算总体偏差,为了使算出的值与总体水平更接近,就必须将算出的标准偏差的值适度放大,即,

公式 样本标准偏差 :$$ S =\sqrt{ \frac 1 {N-1} \sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2}$$

  • $ \bar X$ 代表所采用的样本X1,X2,...,Xn的均值。 总体标准偏差 : $ \sigma =\sqrt {\frac 1 N \sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}$
  • $ \mu$ 代表总体X的均值。

计算步骤编辑

  • 样本标准偏差的计算步骤是:

    • 步骤一、(每个样本数据 减去样本全部数据的平均值)。
    • 步骤二、把步骤一所得的各个数值的平方相加。
    • 步骤三、把步骤二的结果除以 (n - 1)(“n”指样本数目)。
    • 步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。
  • 总体标准偏差的计算步骤是:

    • 步骤一、(每个样本数据 减去总体全部数据的平均值)。
    • 步骤二、把步骤一所得的各个数值的平方相加。
    • 步骤三、把步骤二的结果除以 n (“n”指总体数目)。
    • 步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是总体的标准偏差。

方差

方差的定义

  • 方差在统计描述和概率分布中各有不同的定义,并有不同的公式。
  • 在统计描述中,方差用来计算每一个变量(观察值)与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零,离均差平方和受样本含量的影响,统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。

总体方差计算公式:$$ \sigma^2 = \frac { \sum_{i=1}^n (X-\mu)^2} N $$

  • $\sigma^2$为总体方差, X为变量,$ \mu$ 为总体均值, X为总体例数。
  • 实际工作中,总体均数难以得到时,应用样本统计量代替总体参数

样本方差计算公式:$$\sigma^2 = \frac { \sum_{i=1}^n (X-\bar X)^2} {N-1} $$

  • $\sigma^2$为样本方差,X为变量,$\bar X $ 为样本均值,N为样本例数。

期望
  • 在概率和统计学中,一个随机变量的期望值是变量的输出值乘以其机率的总和,换句话说,期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。

积分
  • 积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。
  • 通常分为定积分和不定积分两种。
  • 直观地说,对于一个给定的正实值函数,在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上,由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值(一种确定的实数值)。
  • 如果一个函数的积分存在,并且有限,就说这个函数是可积的。一般来说,被积函数不一定只有一个变量,积分域也可以是不同维度的空间,甚至是没有直观几何意义的抽象空间。如同上面介绍的,对于只有一个变量x的实值函数f,f在闭区间[a,b]上的积分记作

$$\int_a^bf(x)dx$$

  • 其中的$ dx$除了表示x是f中要进行积分的那个变量(积分变量)之外,还可以表示不同的含义
  • 如果变量不只一个,比如说在二重积分中,函数 $f(x,y)$ 在区域D上的积分记作$\iint_Df(x,y)dxdy$

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