矩阵操作大全

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矩阵乘法

• 矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义 。
• 一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。

定义

• 设A为 的矩阵，B为 的矩阵，那么称 的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作 ，其中矩阵C中的第 行第列元素可以表示为：$$ {(AB)ij\sum_{k=1}^p}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+…+a_{ip}b_{pj}$$
• 例如

$$C=AB= \left(\begin{matrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1&4\\ 2&5\\ 3&6\\ \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} 1*1+2*2+3*3&1*4+2*5+3*6\\ 4*1+5*2+6*3&4*4+5*5+6*6\\\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} 14&32\\ 32&77\\\end{matrix}\right) $$

注意事项

• 当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，A与B可以相乘。
• 矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。
• 乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。

基本性质

• 乘法结合律： (AB)C=A(BC)
• 乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC
• 乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB
• 对数乘的结合性k(AB）=(kA)B=A(kB）
• 转置 $(AB)^T=B^TA^T$
• 矩阵乘法一般不满足交换律 [3]
• *注：可交换的矩阵是方阵。

乘积-哈达马积( hadamard product)

• $mn矩阵A=[a_{ij}]$与 $mn$矩阵 B=[b_{ij}] 的Hadamard积记为$A*B$ 。
• 其元素定义为两个矩阵对应元素的乘积 $(A*B){ij}=a{ij}*b_{ij}$ 的m×n矩阵

$$ \left( \begin{matrix} 1&3&2\\ 1&0&0\\ 1&2&2\\ \end{matrix}\right)* \left(\begin{matrix} 0&0&2\\ 7&5&0\\ 2&1&1\\ \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} 1*0 & 3*2 & 2*2 \\ 1*7 & 0*5 & 0*0 \\ 1*2 & 2*1 & 2*1 \\ \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} 0&0&4\\ 7&0&0\\ 2&2&2\\ \end{matrix}\right) $$